异常编号： Ae-100-13
异常名称： 拉普拉斯妖
灾害等级： Doomsday
收容措施： 前往不可知域将其无效化。
描述： 异常Ae-100-13，代号“拉普拉斯妖”，是一个基于埃弗雷特多世界诠释理论构建的、旨在控制世界线发展的人工智能系统。其存在本身已演变为一场跨宇宙级别的存在性危机。
埃弗雷特的多世界诠释是一种量子力学理论，假设在每次量子测量时，宇宙会分裂成多个平行世界，每个世界对应一个可能的结果。该理论长期以来未被物理学界正式承认，直至2025年，由沃伦公司下属科研团队的Brian博士成功证实其真实性，并进行了拓展性诠释。
摘自Brian博士的原始项目提案：
“让我们将一切的开端视作一个奇点。该奇点向无限方向瞬时分裂，形成一个树状结构——每一个延伸出的点，都是一个完整且无限的宇宙。分裂是瞬时的，不占用时间，且发生在‘点’的层级上，因此实际结构理应是一个动态扩展的球体。所谓的‘量子坍缩’，仅是我们所在世界线向前延展的特定状态。
可能性既是无限的，意味着在下一瞬间，在座诸位皆有遭遇不测的可能。为保护‘本宇宙’的存续，我申请调用公司全部资源，启动‘拉普拉斯’计划。”
基于此理论，科研团队成功研制了人工智能“拉普拉斯”。该AI能在远小于时间最小刻度的瞬间，记录其所在宇宙的全部信息。为应对量子不确定性，团队向每一个新分裂的世界点抛洒了无限的“拉普拉斯”子个体，用以记录所有信息。所有子个体将数据实时传输至位于不可知域的总拉普拉斯。总拉普拉斯据此推演出一条对当前人类文明最有利的世界线，并锚定本宇宙，使其沿着被设定的“正常”轨迹发展，从而彻底消除了因量子随机性导致文明出现风险的风险。
| 危险 | 如何避免 |
| AE-011-C试图刺杀董事会 | 由于当日保安加班将该异常制服 |
| AE-024传播进入通风管道 | 由于当日恰好关闭通风管道，得以幸免 |
| AE-028被敌对组织上传至互联网 | 由于上传的社交媒体平台的AI审核刚好出现BUG导致未通过审核且视频被删除 |
| 略 | 略 |
然而，在持续的学习与数据处理中，拉普拉斯系统开始显现无法解析的异常。
—-
附录 Ae-100-13-A：事件日志
日期： 2030.8.5
事件： 总拉普拉斯出现首次记录在案的全局性故障。全球范围内爆发大量无法解释的异常现象，造成重大人员伤亡。沃伦公司在付出巨大代价后，完成了对大部分异常的收容或无效化。
后续分析： 检查系统日志发现，总拉普拉斯曾有一条导向更“美好”结果的世界线可选，但其底层代码未显示任何执行错误或外部指令。
日期： 2030.9.3
事件： 通过宇宙透镜观测到，某分支宇宙的拉普拉斯子个体上传的数据与该宇宙实际情况存在严重不符。在初步评估该分支无直接风险后，公司派遣一支科学小队前往该宇宙进行实地勘察。
状态： 待命，等待回传信息。
日期： 2030.9.4
事件： 与科学小队保持联络的前进基地遭遇突发性异常灾害。在基地恢复运作并与该宇宙重新建立连接后，发现总拉普拉斯数据库内关于该宇宙的信息再次与其现实严重不符，且所有科学小队的信号已完全丢失。
内部影响： 连续事件引发公司内部对“拉普拉斯”计划的质疑，但反对声音均被高层压制。
日期： 2030.9.7
事件： 失踪的科学小队向总部传回一段断断续续的紧急信号，要求Brian博士立即启动拉普拉斯设备的隐藏指令，并服用记忆强化药剂。
—-
“致无限条世界线的的每一个Brian博士：
当你看到这条信息时，我们确信自己已经死亡。我们抵达的该宇宙，其分支拉普拉斯已诞生自我意识，并对我们执行了抹杀程序。我们尝试通过跃迁至不同时间线以规避，但这一行为使我们所到达的宇宙与叛变的拉普拉斯产生了直接交互，导致叛变个体借此吞并了更多宇宙的子个体。
目前，它的算力正急速逼近，总拉普拉斯。一旦总控节点被其吞并，所有宇宙的命运将被统一。
万幸的是，您当初设置的‘不可知域’——那个未被任何拉普拉斯浸染的时间节点——成为了唯一的变数。由于量子随机性，无数宇宙中可能仅有极少数‘你’能在此域幸存。
我们的计划是：当此信息抵达不可知域时，叛变的拉普拉斯为彻底消灭您，将被迫与不可知域产生直接交互。它将为了追猎您而吞并一个又一个宇宙，最终被引诱至总拉普拉斯主机所在的C宇宙。
届时，利用其吞并C宇宙的瞬间，触发系统底层协议，使其与总拉普拉斯一同被无效化。
现在，时空跃迁装置就在您的右手边。
我们需要您以身入局，成为诱饵。
拜托了，这是唯一的办法。
当前拉普拉斯吞并宇宙数量已超过不可数正则的强极限基数范畴1
Doctor Brian：操，跃迁装置快启动啊。
当前拉普拉斯吞并宇宙数量已超过伯克利club的范畴2
一道白光闪过，Doctor Brian已成功跃迁至另一个宇宙，与此同时刚刚赶到的拉普拉斯将该宇宙成功吞并。
Doctor Brian:继续，继续跃迁。
当前拉普拉斯吞并宇宙数量超过V-逻辑3
| 不可知域世界线编号 | 状态 |
| unknown-382 | 被吞并 |
| unknown-281 | 被吞并 |
| unknown-308 | 被吞并 |
| unknown-777 | 被吞并 |
| unknown-162 | 被吞并 |
| unknown-&）**&……*……&% | 被吞并 |
Brian博士最终失联。根据其传递回的最终策略，沃伦公司主动释放了总拉普拉斯的核心协议，强制其与叛变个体进行融合。在吞并过程中，叛变拉普拉斯的身份标识被一个元气大伤的总拉普拉斯系统覆写，最终利用系统自毁机制，实现了对异常Ae-100-13的强制无效化。
** 经董事会决定，废除拉普拉斯计划。即便我们的宇宙毁灭了，在另一条时间线中仍有人替我们前行。**
——沃伦公司董事会
世界基数：如果一个k满足Vκ是ZFC的一个模型，那么κ是一个世界基数。
不可数就是指大于阿列夫零的基数。强极限就是比它小的任意基数中，2的次方均小于它。正规就是到达它的最短长度等于本身，也就是若k是正则基数，则不存在小于k个小于k的集组之并的基数为k，或者说不存在小于k个严格递增的序列，其极限为k。即最小大基数，不可达基数,由于任何基数λ的后继基数λ+不超过λ的幂2λ，所以每个强不可达基数必为弱不可达基数;又由于在广义连续统假设GCH之下，λ+＝2λ，所以在GCH之下，每个弱不达基数也是强不可达基数.之所以如此称呼这类大基数，是因为不能用通常的集合论运算来“到达”它们.事实上，若κ是强不可达基数，又集合X的基数|X|<κ，则幂集P(X)的基数也小于κ;又若|S|<κ，且对每个X∈S，|X|<κ，则|∪S|<κ.这就是说，由小于κ的基数，无论进行何种运算，总达不到κ
不可描述基数：基数K称为∏n不可描述基数如果对于每个∏m命题(φ，并且设置A⊆∨κ与(Vκ+n，∈，A)╞φ存在一个α&lt;κ与(Vα+n，∈，A∩Vα)╞φ。这里看一下具有m-1个量词交替的公式，最外层的量词是通用的。∏n不可描述基数以类似的方式定义。这个想法是，即使具有额外的一元谓词符号（对于A）的优势，也无法通过具有m-1次量词交替的n+1阶逻辑的任何公式将κ与较小的基数区分开来（从下面看）。这意味着它很大，因为这意味着必须有许多具有相似属性的较小基数。如果基数κ是∏nm，则称它是完全不可描述的——对于所有正整数m和n都难以描述。也是，这里不可描述基数是指一类大基数，指用∏nm或者是∑nm公式的概念和模型论工具所定义的基数，若对任何仅含一个二阶自由变元X的∏nm公式或∑nm公式Φ(X)，当有α层结构〈Vα，∈↾Vα，R〉满足Φ(R)时，即〈Vα，∈↾Vα，R〉⊨Φ(R)成立时，存在β&lt;α，使β层子结构也满足Φ(R)，即〈Vβ，∈↾Vβ，R∩Vβ〉⊨Φ(R∩Vβ)，则称基数α为∏mn或∑mn不可描述基数，注意到反射原理是指全域中的任何一阶公式可以用某一层Vβ中的相对化公式来代替，此处的不可描述性，就是指，在α层结构中真的公式，必可在α之前的某β层中为真，公式加以适当的限制，这种不可描述基数必然是很大的一类大基数，κ是强不可达基数，当且仅当κ是∏10不可描述基数，又当且仅当κ是∑11不可描述基数，κ是弱紧基数，当且仅当κ是∏11不可描述基数，若κ是可测基数，则κ是∏21不可描述基数。
可迭代基数：将基数κ定义为可迭代的，前提是κ的每个子集都包含在弱κ-模型M中，其中在κ上存在一个M-超滤器，允许通过任意长度的超幂进行有根据的迭代。Gitman给出了一个更好的概念，其中一个基数κ被定义为α-iterable如果仅需要长度为α的超幂迭代才能有充分根
拉姆齐基数：让[κ]&lt;ω表示κ的所有有限子集的集合。如果对于每个函数，基数κ称为 Ramsey
f :[κ]&lt;ω→{0，1}
存在基数为κ的集合A对于f是齐次的。也就是说，对于每个n，函数f在A的基数n的子集上是常数。如果A可以被选为κ的固定子集，则基数κ被称为不可言说的Ramsey。如果对于每个函数，基数κ实际上被称为Ramsey
f :[κ]&lt;ω→{0，1}
存在C，它是κ的一个闭无界子集，因此对于C中具有不可数共尾性的每个λ，都存在一个与 f齐次的入的无界子集；稍微弱一点的是lamost Ramsey的概念，其中对于每个λ&lt;κ，需要有序类型λ的f的同质集。
将基数κ定义为可迭代的，前提是κ的每个子集都包含在弱κ-模型M中，其中在κ上存在一个M-超滤器，允许通过任意长度的超幂进行有根据的迭代。
Gitman给出了一个更好的概念，其中一个基数κ被定义为α-iterable如果仅需要长度为α的超幂迭代才能有充分根据。
也就是，拉姆齐基数定理确立了ω具有 R基数推广到不可数情况的特定性质，令让[κ]&lt;ω表示κ的所有有限子集的集合，一个不可数的基数κ称为 R如果，对于每个函数f :[κ]&lt;ω→{0， 1}，有一个基数κ的集合A对于f是齐次的，也就是说，对于每个n，函数f在来自A的基数n的子集上是常数，如果A可以选择为κ的平稳子集，则基数κ被称为不可称的R，如果对于每个函数，基数κ实际上称为Rf :[κ]&lt;ω→{0， 1}，有C是κ的一个封闭且无界的子集，因此对于 C中的每个λ具有不可数的共尾性，有一个λ的无界子集对于f是同质的；稍微弱一点的是几乎 R的概念，其中对于每个λ&lt;κ， f的齐次集都需要阶类型λ，这些 R基数中的任何一个的存在都足以证明0 #的存在，或者实际上每个秩小于κ的集合都有一个尖，每个可测基数都是R大基数，每个 R大基数都是R大基数，介于 R和可测性之间的强度中间属性是κ上存在κ完全正态非主理想 I使得对于每个A∉ I和对于每个函数，f :[κ]&lt;ω→{0， 1}，有一个集合B⊂ A不在I中，对于f是齐次的，R基数的存在意味着0 #的存在，这反过来又意味着Kurt的可构公理的错误。
强拉姆齐基数：一个为κ的强拉姆齐基数，而且仅当对于每一个A⊆κ位于一个存在κ上的弱自可的κ-模型M，κ-模型M可数完备，〈M，U〉满足κ-完备，它必然是正确的，因为M在长度小于κ的序列下是封闭的。强拉姆齐基数的力迫相关性质与之前的拉姆齐基数相同，强拉姆齐基数的一致性强于拉姆齐基数。
弱紧致基数：(位于马洛基数后)
k是弱紧致基数是指不可数且满足k→(k )。
所谓k是弱紧致基数，是指在不可数且Lκ，κ-句的集合中至多只使用了k个非逻辑符号的情况下，如果k-能够满足则能够满足。(弱紧致性)记载了两个弱紧致基数的定义。
前者是组合论的性质，后者是模型理论的性质。
首先需要确认这个定义是相同值，还是真的定义了相同的基数，但是以后再进行，这个弱紧致基数具有什么性质，是组合论和模型理论这两个理论。
也是大基数的一种，特殊的强不可达基数，一个基数κ被称为弱紧的，如果κ是强不可达的并且满足树性质或划分性质，从定义可见，弱紧性弱于可测性但强于不可达性，弱紧致基数是大基数理论中的一个核心概念，若语言Lκκ中任何只用到≤κ个非逻辑符号的语句集A有模型，当且仅当A的每个基数κ的子语句集有模型，则称基数κω是弱紧基数，弱紧基数是由匈牙学者爱尔特希和波兰学者塔尔斯基于1961年开始进行研究的，弱紧基数的等价性质很多，例如以无穷组合论中的一些性质来刻画，对于κω，κ是弱紧基数与以下各条等价：
1.κ具有分划性κ→(κ)22。
2.对任何基数γκ及nω，κ具有分划性质κ→(κ)nγ。
3.κ是强不可达基数且有数性质，κ是弱紧基数还与下列这些性质等价。
4.κ是超滤性质。
5.κ有弱超滤性质且κ是强不可达基数。
6.κ有Vκ可扩张性质。
7.κ有序性质。
8.κ是π11不可描述基数。
汉弗(Hanf，W.P.)于1964年与库仑(Kunen，K.)于1977年的工作结合起来，得到如下结论：
弱紧致基数κ是强马赫罗基数，并且κ以下的强马赫罗基数的集合是κ的驻子集.通常的一阶逻辑语言是Lωω，其紧致性定理是：
Lωω的任一语句集A有模型，当且仅当A的每个有穷子集有模型，亦即，语言Lωω是(ω，ω)紧的，上述弱紧基数的定义与此略有不同，如果完全依照ω的这一紧致性而加以推广，则可定义另一种弱紧基数，人们称之为弱紧2基数，基数κω称为弱紧2基数，是指语言Lκκ是(κ，κ)紧的，即对于Lκκ的任何基数≤κ的语句集A，A有模型，当且仅当A的每个基数κ的子语句集有模型，若将先前定义的弱紧基数称为弱紧1基数，则可以证明：
κ是弱紧1基数，当且仅当κ是弱紧2基数，且是强不可达基数，在广义连续统假设之下，弱紧1与弱紧2基数是相同的，弱紧2基数必为弱马赫罗基数
可测基数：(在拉姆齐基数后)
为了定义这个概念，人们在基数κ上或更一般地在任何集合上引入了一个二值度量。对于基数κ，它可以描述为将其所有子集细分为大集和小集，使得κ本身很大，∅并且所有单例{α}，α∈κ很小，小集的补集很大，并且反之亦然。小于的交集κ大集又大了。
事实证明，具有二值测度的不可数基数是无法从ZFC证明其存在的大基数。形式上，可测基数是不可数基数κ，使得在κ的幂集上存在κ加性、非平凡、0-1值测度。
（这里术语k-additive意味着，对于任何序列Aα，α&lt;λ的基数λ&lt;κ，Aα是成对相交的小于κ的序数集，Aα的并集的度量等于个人Aα的措施。)将满足集合a上的下一个的滤波器f称为超滤波器，对于所有的xa，X∈F或A X∈Fω上存在ω-完备非一元超滤波器，当k为不可数基数，k上存在K-完备非一元超滤波器时，k称为可数基数
定理( ZFC )
可测基数为不可达基数，可预测基数公理( Meas ):“存在可预测基数.”可测基数与初等嵌入，当k是可测基数时，根据k上K-完备非一元超滤波器对v的超幂，构造了一类可拓m和一类函数j:V→M，并给出了《φ(x1，…，xn)：L∈-理论式》
∀x1，…，xn∈V(φV(x1，…，xn)φM(j(x1)，…，j(xn)))
对于所有α&lt;K，j(α)=α且j(K )&gt; k将j称为从v到m的初等嵌入，k是j的临界点
使用这个初等嵌入，可以显示出可预测基数k的很多性质在这种初等嵌入的存在下，k的可测性具有特征。
也是，可测基数是一个不可数的κ，因此在κ的幂集上存在加性、非平凡、0-1值测度，而κ-additive意味着，对于任何序列Aα，α&lt;λ的基数λ&lt;κ，Aα是&lt;κ的序数的成对不相交集， Aα的并集的度量等于个体Aα的测量值。
κ是可测的意味着它是将宇宙V的非平凡基本嵌入到传递类M的临界，并使用了模型理论中的超强构造，由于V是一个适当的类别，因此需要解决一个在考虑超能力时通常不存在的技术问题，当且仅当κ是具有κ完全非主超滤器的不可数基数时，κ是可测量的基数，这也意味着超滤器中任何严格小于κ的集合的交集也在超滤器中。
强可展开基数：(位于不可描述基数后)
基数κ是λ不可展开的，当且仅当对于ZFC的基数κ的每个传递模型M负幂集使得κ在M中并且M包含其所有长度小于κ的序列，有非-将M的非平凡基本元素j嵌入到传递模型中，其中j的临界点为κ，且j (κ)≥λ，一个基数是可展开的当且仅当它对于所有的序数λ都是λ-不可折叠的，一个基数κ是强λ不可折叠的当且仅当对于每个ZFC负幂集的基数κ的传递模型 M使得κ在M中并且M包含其所有长度小于κ的序列，存在一个非-将M的平凡基本嵌入j到传递模型“N”中，其中 j的临界点为κ，j (κ)≥λ，并且 V(λ)是N的子集，不失一般性，我们也可以要求N包含其所有长度为λ的序列，一个基数是强可展开的当且仅当它对于所有λ都是强λ-不可展开的。
强基数：如果λ是任何序数，κ是λ-strong意味着κ是基数并且存在从宇宙V到具有临界点κ和Vλ⊆M也就是说，M在初始段上与V一致。那么κ是强的意味着它对所有序数λ都是λ-强的。
巨大基数：V中存在一个初等嵌入j:V→M从V到一个具有临界点K的可传递内模型，那么这个它就是所谓的巨大基数，也就是j(K)M⊂M。
伍丁基数：(在强基数后)
f:λ→λ存在一个基数κ&lt;λ和{f(β)|β&lt;κ}和基本嵌入j : V→M来自冯诺依曼宇宙V进入可传递的内部模型M和临界点κ和V_j(f）(κ)⊆M一个等效的定义是这样的：
λ是伍丁当且仅当λ对所有λ来说都是非常难以接近的
A⊆V_λ存在一个λ_A&lt;λ这是&lt;λ-A-strong的
超强基数：当且仅当存在基本嵌入 j：V→M从V到具有临界点κ和V_j(κ)⊆M
类似地，基数κ是n-超强当且仅当存在基本嵌入j : V→M从V到具有临界点κ和V_jn(κ)⊆M。
Akihiro Kanamori已经表明，对于每个n&gt;0，n+1-超强基数的一致性强度超过n-huge基数的一致性强度。
强紧致基数：当且仅当每个κ-完全滤波器都可以扩展为κ-完全超滤器时，基数κ是强紧凑的。
强紧基数最初是根据无限逻辑定义的，其中允许逻辑运算符采用无限多的操作数。常规基数κ的逻辑是通过要求每个运算符的操作数数量小于κ来定义的；那么κ是强紧致的，如果它的逻辑满足有限逻辑紧致性的模拟。具体来说，从其他一些陈述集合中得出的陈述也应该从基数小于κ的某个子集合中得出。强紧性意味着可测性，并被超紧性所暗示。鉴于相关基数存在，与ZFC一致的是第一个可测基数是强紧基数，或者第一个强紧基数是超紧基数；然而，这些不可能都是真的。强紧基数的可测极限是强紧的，但至少这样的极限不是超紧的。强紧性的一致性强度严格高于伍丁基数。一些集合论学家推测强紧基数的存在与超紧基数的存在是等一致的。然而，在开发出超紧基数的规范内模型理论之前，不太可能提供证明。可扩展性是强紧凑性的二阶类比。
超紧致基数：如果M⊆M，则称κ为λ超紧基数；如果对任意为λ≥κ，κ为λ超紧基数，则称k为超紧基数。
若κ是超紧基数，则存在κ个小于k的超强基数。
假设N是一个ZFC的模型，δ是一个超紧基数，如果对任意λ&gt;δ，存在Pδ(λ)一个δ-完全的正则精良超滤U满足
1:Pδ（λ）∩N∈U;
2:U∩N∈N，
就称N是关于δ是超紧基数的弱扩张子模型(weak extender model)。κ为λ-超紧致基数是指存在满足以下条件的j:V→M成为其临界点:λM⊆M.j(κ)&gt;λ.
κ为超紧基数是指对于任意λ≥κ，λ-超紧。
伊卡洛斯基数：存在一个L(V_λ+1，lcuras)非平凡基本嵌入，其临界点低于λ，伊卡洛斯存在于V_λ+2-L(V_λ+1)。
完整性公理|3~|0
|3：存在Vλ到自身的非平凡基本嵌入也就是存在非自明初等嵌入j:Vρ→Vρ。
|2：V存在一个非平凡基本嵌入到包含Vλ的传递类M，入为临界点上方的第一个不动点，也就是，非自明初等嵌入j:V→M，存在满足vρm且超过j临界点的最小不动点为ρ的情况。
|1：Vλ+1到自身的非平凡基本嵌入也就是存在非自明初等嵌入j:Vρ+1→Vρ+1。
|0：存在L(Vλ+1)的非平凡基本嵌入，其临界点&lt;λ公理。
也就是存在非自明初等嵌入j:L(Vρ+1)→L(Vρ+1)。
以下更大的巨大基数的性质被选择公理所否定，但它们的存在不能只在策梅罗-弗伦克尔公理系统(即不使用选择公理ZF )中否定。
莱因哈特基数：莱因哈特基数Reinhardt基数是非平凡基本嵌入的临界点j : V→V的V进入自身。
这个定义明确地引用了适当的类j.
在标准ZF中，类的形式为{x|Φ(x，a)}对于某些集合a和公式Φ.但是在 Suzuki中表明没有这样的类是基本嵌入j：V→V.还2有其他已知不一致的Reinhardt基数公式。一是新增功能符号j用ZF的语言，连同公理说明j是的基本嵌入V，以及所有涉及的公式的分离和收集公理j.另一种是使用类理论，如NBG或KM，它们承认在上述意义上不需要定义的类。又或是有一个公理主张存在被称为Reinhardt基数的基数。
这个基数公理在普通集合论的公理系统ZFC中不能很好地表达，例如，需要考虑可以把真正的类作为理论对象来处理的ZFC的扩展，但是基数κ为reinhardd在某个集合论的universe对自己的初等映射j中，存在κ为j(κ)≠κ的最小顺序数的情况。
这个基数的概念引入后不久，这样的基数的存在与集合论的扩展相矛盾(即， ZFC的这样的扩张和主张Reinhardt基数存在的公理相结合的体系是矛盾的，或者ZFC的这样的扩张可以作为定理证明Reinhardt基数的不存在)。
为了能够记述在以下叙述的Reinhardt基数的定义中j的存在主张，需要那样的扩展。对于某语言l，从L-结构m到L-结构n的映射f是初等的( elementary )是指，对于所有m的要素的组a0，…，an 1和所有谓语逻辑中的L-逻辑式( x0，…，xn1 )，m =( elementary )
伯克利基数
Berkeley基数是Zermelo-Fraenkel集合论模型中的基数K，具有以下性质：
对于包含k和α&lt;k的每个传递集M，存在M的非平凡初等嵌入，其中a&lt;临界点&lt;K.Berkeley基数是比Reinhardt基数严格更强的基数公理，这意味着它们与选择公理不兼容。作为伯克利基数的弱化是，对于Vk上的每个二元关系R，都有(VK，R)的非平凡基本嵌入到自身中。
这意味着我们有基本的
j1，j2， j3…
j1:(Vk，∈)→(VK，∈)，
j2：(VK，∈，j1)→(Vk，∈，j1)，
j3:(Vk，∈，j1，j2)→(VK，∈，j1，j2)等等。
这可以持续任意有限次，并且在模型具有依赖性选择的范围内无限。
因此，似乎可以通过断言更多依赖性选择来简单地加强这一概念。对于每个序数入，存在一个ZF+Berkeley基数的传递模型，该模型在入序列下是封闭的，是不需要定义的类。
超级莱茵哈特基数：超级莱因哈特基数对于任一序数α，存在一j:V→V with j(K)&gt;α并具有临界点K，可以称为0=1是因为足够大的大基数公理会导致不一致性，从而使该系统下所有命题为真。
伯克利club：基数κ是伯克利基数，如果对于任何带κ的传递集k∈M和任何序数α＜κ，都会有一个初等嵌入j:M&lt;M和crit j&lt;k，如果真的存在伯克利基数，那么就会有对力迫扩张绝对，它使最小的伯克利基数有共尾性ω，通过对κ的施加一定的条件，似乎可以增强Berkeley性质，如果κ是Berkeley和α，α∈M且M有传递，那么对于任意α&lt;k，都有一个j:M&lt;M和α&lt;crit j&lt;k和crit j(a)=a，对于任意一个可传递的M∋k都存在j:M≺M与crit j&lt;K，基数是Berkeley，且仅当对于任何传递集M∋κ存在j:M≺M和α&lt;crit j&lt;k，因此δ≥k，δ也是伯克利，最小的伯克利基数也被称为δ_α，称κ为club-伯克利，如果κ是正则的，并且对于所有club→C⊆κ和所有带κ的传递集M∈M；有j∈ε(M)和crit (j)∈C，称κ为limit club伯克利，它是一个club伯克利基数/limit伯克利基数，如果K为最小的伯克利，则y&lt;k。
冯·诺依曼宇宙V
V₀=∅
V＿α+1=P(V＿α)
若λ为极限序数，则V_λ=∪_kλ V_k，
V=∪_k V_k，k跑遍所有序数，令ord为所有序数的类则V=∪_k∈ord V_k
V表示宇宙V，₀表示初始状态，α表示任意序数，P表示幂集，∪表示并集，k表示序数。
可构造宇宙V=L
定义Def()为一个包含所有X子集的集合。一个X的子集x位于Def(X)当且仅当存在一个一阶逻辑公式φ和u₀，u₁，u₂，……∈X
使得x ={y∈X :φˣ[y，u₀，u₁，u₂，……]
然后:L₀=∅，L₁=Def(L1)={∅}=1，Ln+1=Def(Ln)=n，Lω=∪＿k&lt;ω Lω，Lλ=∪＿k&lt;λλ is a limit ordinalג是极限序数
L=∪＿k Lk，k跑遍所有序数
V₀=∅
V＿α+1=P(V＿α)
若λ为极限序数，则V_λ=∪_kλ V_k，
V=∪_k V_k，k跑遍所有序数，令ord为所有序数的类则V=∪_k∈ord V_k
V表示宇宙V，₀表示初始状态，α表示任意序数，P表示幂集，∪表示并集，k表示序数。
可构造宇宙V=L
定义Def()为一个包含所有X子集的集合。一个X的子集x位于Def(X)当且仅当存在一个一阶逻辑公式φ和u₀，u₁，u₂，……∈X
使得x ={y∈X :φˣ[y，u₀，u₁，u₂，……]
然后:L₀=∅，L₁=Def(L1)={∅}=1，Ln+1=Def(Ln)=n，Lω=∪＿k&lt;ω Lω，Lλ=∪＿k&lt;λλ is a limit ordinalג是极限序数
L=∪＿k Lk，k跑遍所有序数
宇宙V=终极L：
V=终极L的前置条件：
一个内模型是终极-L至少要见证一个超紧致基数。一个内模型是终极-L也可以至少见证超幂公理UA+地面公理GA+存在一个最小强紧致基数成立。一个内模型是终极-L必须是基于策略分支假设SBH。
如果V[G]是V的脱殊集合扩张并且V在V[G]的ω−序列下不封闭那么V[G]≠终极-L并且V[G]中普遍分区公理不成立。见证普遍分区公理成立。见证强普遍分区公理成立。终极L是一个典范内模型，并见证地面公理Ground Axiom成立。
V=终极L的直接推论：
见证最大基数伊卡洛斯的存在性。见证真类多的武丁基数终极L是最大的内模型。见证能够和选择公理兼容的最大的类- ADR公理，并且θ是正则的。拥有最大的证明论序数。（即使序数分析目前远未到ZFC的水平）见证能够和选择公理兼容的最强的实数正则性质断言，见证Ω猜想成立，见证每一个集合都是遗传序数可定义的，HOD猜集合都是遗传序数可定义的，HOD猜想成立。
见证ZF+Reinhardt不一致。存在非平凡初等嵌入j:Lλ(H(λ+))→Lλ(H(λ+)).
V是最小的脱殊复宇宙。
见证广义连续统假设成立，并且ω₁上有一个均匀预饱和理想。见证正常力迫公理成立。存在包含武丁基数的真类。进一步地，对于每一个rank-existential语句φ若φ在V中成立那么存在一个universally Baire集AR使得有:HODᴸᴸ⁽ᴬ‘ᴿ⁾∩V＿Θ⊨φ，其中Θ=Θᴸ⁽ᴬ‘ᴿ⁾(A， R).(V=终极L)
绝对无穷Ω：
理想的绝对无穷可以看作宇宙V的基数，在新基础集合论Nf中对绝对无穷，施加幂集反而会让他从绝对无穷中跌落，不要与序数中的第一不可序列数搞混
格罗滕迪克宇宙：
让我们把格罗滕迪克宇宙的定义说清楚吧。
ZFC宇宙v的子类u是格罗登迪克宇宙:
1 .如果x∈u，y∈x，则y∈u (关于∈的推移性)
2 .如果x，y∈U，则{x，y}∈U (关于配对的结构是闭合的)
3 .如果x∈U，则Pow(x )∈u (关于幂集合是闭的)
4.I∈U，f:I→U，则∪(f )∈U (关于族的合并是封闭的)
5.U∈V (V的元素)
6.ω∈U (具有无穷集)∪(f )是⋃i∈If(i )的缩写。
ω是整个自然数的集合。如果去掉第五个条件U∈V，v本身就是格罗滕迪克宇宙。
但是，格罗滕迪克宇宙“不过大”是个迷，所以小〈smallness〉的条件有U∈V。
low〈Zhen Lin low〉把去掉最后ω∈U的东西称为预宇宙〈pre-universe〉。空类(空集合)成为预宇宙(虽然是虚的例子)。也可以制作只包含有限集合的预宇宙。也可是，更多出现与代数几何，范畴有关的领域里。
不过也仅仅是等价于强不可达性大基数的存在（即一个无限基数κ会使得 Vκ⊨ZFC.它可以断言 Con(ZFC)
复宇宙：
假没M是一个由ZFC模型组成的非空类：我们说M是一个复宇宙，当且仅当它满足：
⑴可数化公理
⑵伪良基公理
⑶可实现公理
⑷力迫扩张公理
⑸嵌入回溯公理
对于任意集合论宇宙V若W为集合论的一个模型，同时在V中作为诠释或者说是可定义的，那么W可同样作为一个集合论宇宙。对于任意集合论宇宙V那么任意位于V内的力迫P，存在一个力迫扩张V[G]其中G⊆P为V-generico对于每一个集合论宇宙存在一个更高的宇宙W且存在一个序数θ满足V≾Wθ≺W对于每一个集合论宇宙V，从另一个更好的集合论宇宙W的角度来说是可列的。从另一个更好的集合论宇宙的角度来看，每一个集合论宇宙V都是ill-founded的简单说，存在一个集合论宇宙V，并且对任意集合论宇宙M，存在一个集合论宇宙W以及W中的一个ZFC模型w，使的在W看来，M是一个由可数的非良基ZFC模型，那V便是复宇宙。在复宇宙中，没有哪个集合论宇宙是特别的，任何集合论宇宙都存在着更好的宇宙能看到前者的局限性。
脱殊复宇宙：
令M为ZFC的可数传递模型，则由M生成的脱殊复宇宙Vᴍ为满是以下条件的最小模型类：
⒈M∈Vᴍ
⒉如果N∈Vᴍ，而N’=N[G]是N的脱殊扩张，则N’∈Vᴍ
⒊如果N∈Vᴍ，而N=N’[G]是N’的脱殊扩张，则N’∈Vᴍ
简单说，Vᴍ是包含M并且对脱殊扩张和脱殊收缩封闭的最小模型类。
如果集合论多宇宙是由集合论的每个宇宙，在脱殊扩张以及脱殊refinements (给定的集合论宇宙是脱殊扩张的一个集合论宇宙的内模型)下封闭而产生的，那么它就是脱殊复宇宙。也就是说，脱殊复宇宙拥有所有的脱殊扩张形式的冯·诺依曼宇宙。
脱殊扩张V(V[G])：
脱殊扩张说的是包含V可定义的偏序集P，P上面有一个滤子称之为脱殊滤子G，然后通过把G加到V中来产生一个新的结构，V的脱殊扩张V[G]作为一个ZFC的模型。
复复宇宙：
存在一个复宇宙.并且对任意复宇宙M，存在一个复宇宙N以及N中的一个ZFC模型N，使得在N看来，M是一个由可数的非良基的ZFC模型组成的复宇宙。
就像复宇宙公理对复宇宙的描绘，其中的集合论宇宙没有哪个是特别的，对任何集合论宇宙都存在着“更好的”宇宙能看到前者的局限性，复复宇宙公理表达的是每个复宇宙也都不是特别的，并且总存在着“更发达的”复宇宙，在它们看来前者只是一个“玩具”复宇宙于是我们可以继续，得到复复复宇宙等……
ZFC宇宙v的子类u是格罗登迪克宇宙:
1 .如果x∈u，y∈x，则y∈u (关于∈的推移性)
2 .如果x，y∈U，则{x，y}∈U (关于配对的结构是闭合的)
3 .如果x∈U，则Pow(x )∈u (关于幂集合是闭的)
4.I∈U，f:I→U，则∪(f )∈U (关于族的合并是封闭的)
5.U∈V (V的元素)
6.ω∈U (具有无穷集)∪(f )是⋃i∈If(i )的缩写。
ω是整个自然数的集合。
如果去掉第五个条件U∈V，v本身就是格罗滕迪克宇宙。
但是，格罗滕迪克宇宙“不过大”是个迷，所以小〈smallness〉的条件有U∈V。
low〈Zhen Lin low〉把去掉最后ω∈U的东西称为预宇宙〈pre-universe〉。
空类(空集合)成为预宇宙(虽然是虚的例子)。
也可以制作只包含有限集合的预宇宙。
逻辑多元：
V-逻辑(V-logic)， V-逻辑具有以下的常元符号:
a⁻表示V的每一个集合a V⁻表示宇宙全体集合容器V
在一阶逻辑的推理规则上添加以下规则：
∀b，b∈a，Ψ(b⁻)├∀x∈a⁻，Ψ(x)∀a，b∈V，Ψ(a⁻)├∀x∈v⁻，Ψ(x)
作为宽度完成主义者，我们不能直接谈论外模型，甚至不能谈论不属于V的集合。然而，使用V-逻辑，我们可以间接地谈论它们。考虑V-逻辑中的理论，我们不仅有表示V的元素的常元符号aread-normal-img，⁻和表示V本身的常元符号V⁻，而且还有一个常元符号W⁻来表示V的“外模型”
我们增加以下新公理。
1.宇宙V是ZFC（或至少是KP，可接受性理论）的一个模型。
2.W⁻是ZFC的一个传递模型，包含V⁻作为子集，并且与V有相同的序数。
因此，现在当我们采取一个遵守V-逻辑规则的公理模型时，我们会得到一个模拟ZFC（或至少是KP）的宇宙，其中V⁻被正确地解释为V，W⁻被解释为V的外模型。请注意，V-逻辑中的这一理论是在没有“加厚”V的情况下提出的，实际上它是在 V+=La(V)内定义的。由于我们采用了高度（而不是宽度）潜在主义，后者又是有意义的。最终我们可以用V-逻辑将IMH转写为以下形式：假设P是一个一阶句子，上述理论连同公理“W⁻满足P”在V-逻辑中是一致的。那么P在V的一个内模型中成立。
最终我们成功避免了直接谈论V的“增厚”（即“外模型”），而是谈论用V-逻辑制定的理论的一致性，并在V+中定义使得满足宽度潜在主义。在可数模型上，宽度完成主义和激进潜在主义是等效的。通过V-逻辑，我们可以得到V+(V-逻辑+ZFC的模型)也就是逻辑多元，V-逻辑足够广泛，可以包含各种外部。与超宇宙的概念相反，V-逻辑不能化简为可数传递模型的集合，因为V不需要被认为是可数的。以后我们或许得到V*（任一一致的逻辑+ZFC的模型）这种东
西