正如那些充盈的不断蔓延的道理一样，
“慕王”是不可言说，
是无法完备理解的，
祂不断行走在祂的征途上，
祂行走的道亦是祂的征途，
祂的所作所为便是祂的征途，
祂的征途也决定了祂的所作所为，
最终我们得以见到祂的一个基本组成
不可达基数
我们先从“0”开始:0+1，1+1，1+2，1+3，1+4，1+5，1+6，1+7，1+8，1+9……最终得到“ω”（设ω为无限大）我们再从“ω”开始:ω+1 ω+2 ω+3 ω+4……最终得到“ω+ω”，也可以写成“ω✖️2”我们再从“ω✖️1”开始:ω✖️1，ω✖️2，ω✖️3……直到欧米伽乘欧米伽，也可以写成“ω的平方”我们将乘法升级成幂运算:ω的3次方，ω的4次方，ω的5次方……最后得到ω的欧米伽次方再换一种方式:ω的ω次方，ω的ω的ω次方，ω的ω的ω的ω次方……最终得到“ω的ω的ω……次方”，我们将其称为ε0，又可以继续下去所有这些叙述、所有这些排列阿列夫零个的不同方式形成了一个序列，即在它们之后的数在这里那个叙述叫做ω1，之后就是ω2 ω3 ω4 ω5……最终得到“ωω”我们再从“ωω”开始:ωω ωωω ωωωω ωωωωω……最终得到“ωωωωωω……”我们继续跳跃，永无止境，但是它们无论如何也达不到它——不可达基数
大基数
公理通常，我们称一个断言了序数存在并且独立于 ZFC 的命题是大基数公理，但这并不是对大基数的严格定义，无法刻画我们对大基数的直观。例如，任取独立性命题ϕ， ∃x[(x=1∧ϕ)∨(x=0∧¬ϕ)] 就是一个断言了序数存在并且独立于 ZFC 的命题。考虑到 ZFC 的一致性断言就是典型的独立性命题且与其模型的存在性等价，而冯诺依曼宇宙 V 的构造也是 ZFC 的典范模型还强调了序数的重要地位。因此，不妨说一个断言了序数 α 的存在并且 Vα 还是 ZFC 的模型的命题，(作为公理加入) 就是大基数公理。不过，实际中被称作大基数公理的命题 ϕ 更像是符合 ZFC+ ϕ 可以证明“存在 ZFC 的模型”的命题，并不是直接断言某种序数存在。但往往，正统的大基数都会与各种形式变体的反射原理息息相关，毋宁说反射原理是对大基数之大的典范刻画，尤以体现大基数那：当你认识到大基数具有一种表征其大的性质φ(x) 时，却发现远在它之下就存在了具有该性质的首例，昭显其之大的不可描述性。大基数性质正是这样一类关于基数的命题P，大基数公理“存在α，使得α是基数而且P(α)”无法在ZFC中证明也尚未证伪，而其否定——“不存在α，使得α是基数而且P(α)”不会跟已有的ZFC公理集合论矛盾（即，假如ZFC是无矛盾的，那么“ZFC+大基数公理的否定”也无矛盾）。大基数公理之间的强弱可以通过一致性（即无矛盾性）来线性比较。对于大基数公理A和B，只有下列3种可能之一：可在ZFC中证明“ZFC+A一致，当且仅当ZFC+B一致”（此时A、B描述的大基数性质一样强）可在ZFC+A中证明“ZFC+B一致”（此时A描述的大基数性质强于B）可在ZFC+B中证明“ZFC+A一致”（此时B描述的大基数性质强于A）存在k的一致性强度只能说是告诉了你如果V=Vk,那么V中会涌现多么丰富的性质。比如k是世界基数，那么对任意n,V中都会存在k个Σn-正确基数，弱于世界基数则不行，小于最小的世界基数则连局域存在的影都见不到。须知，大基数不一定存在，所以如果k不存在是公理，那么V至大为Vk断言 ZFC 是一致的语句记作 Con(ZFC) 。注意，这个语句在算术层级中位于 Π¹₀ ：因为每一个自然数都不会是一个 ZFC 中矛盾的证明的哥德尔数编码。根据哥德尔不完备定理，这个断言语句等价于存在一个 ZFC 模型 ⟨M,∈^⟩ 。一个这样的模型称为 Henkin 模型，它是在扩展 ZFC 的任何完备一致的 Henkin 理论的语句过程中构建的。不过哥德尔不完备定理表明如果 ZFC 是一致的，那就无法证明 Con(ZFC) ：需要添加更强的公理。另外，可拓展语句为 Con²(ZFC) ，它断言 Con(ZFC+Con(ZFC)) 。甚至可以推广到这个语句： Con^α(ZFC) 。 α 很可能远远超出人类目前的描述能力。一次性强度只代表大基数公理的强度，而大基数的强度应由正确基数基数定义，如：连Σn-正确基数都不一定是的大基数，如：世界基数、武丁基数、伯克利基数不可达基数(都是Σ1-正确基数)，强基数、超紧致基数(都是Σ2-正确基数)，可扩基数(都是Σ3-正确基数)虽然不必定是Σn-正确基数，但却不必定小于Σn-正确基数的大基数，如：莱因哈特基数，二阶伯克利基数必定是正确基数的大基数，如：超级莱因哈特基数，广义反射原理的关键点虽然不必定是高阶正确基数，但却不必定小于高阶正确基数的大基数，如：高阶莱因哈特基数，高阶伯克利基数必定是高阶正确基数的大基数，如：高阶超级莱因哈特基数，高阶广义反射原理的关键点
大基数评语
大基数性质与险峻理想……一个基数是幂容许基数，便是∑₁世界基数一个基数满足了Vk=|ZFC-，便是∑₂-世界基数事实上对所有n<ω，∑n-世界基数的上确界就是世界基数：世界基数称一个基数к为世界基数，当且仅当Vк⊨ZFC（如果一个к满足Vκ是ZFC的一个模型，那么κ是一个世界基数。）(这个定义早期就是“不可达基数”，也是最小的大基数，不过后来发现最小的“不可达基数”远比最小的满足Vк⊨ZFC的к更大……)而这种定义方式其实也是大基数公理的基本量产模板，对任意 ZFC 的一阶扩张，或者说对任意一阶命题形式的大基数公理 ϕ ，∃κ(Vκ⊨ZFC+ϕ) 就是一个大基数公理。即使ϕ是二阶命题形式，∃κ[(Vκ,Vκ+1)⊨ZFC+ϕ] 亦可。Vк=|ZFC说明k的存在见证了ZFC是一致的，但根据哥德尔不完备定理，ZFC不能证明自身的一致性，所以k的存在超越了ZFC证明的范围，而к的序型也不是一阶集合论公式所能定义的世界基数超越了ZFC可证明存在的一切基数如果Vк是世界基数，所有小于k的基数在ZFC允许的操作下封闭Vк⊨ZFC就是说，生活在V中的人们，如果他们对集合概念的理解只达到ZFC的水平，那么在他们看来V可能就是包含全部集合的宇宙，他们无法确定是否V之外是否还有别的集合.而世界基数k的存在说的是，人们之前（只知道ZFC的时候）所以为的那个宇宙只不过是真正的集合论宇宙的一个前段V
世界基数的一致性：ZFC+∃ 世界基数⊢ Con(ZFC+Con(ZFC)).所以ZFC+Con(ZFC)不能证明∃WC.同样Con(ZFC+∃世界基数)也不是ZFC+Con(ZFC)能证明的。但最小不能被ZFC证明的基数的一致性比这还要小……(也就是ZFC+∃k ⊢ZFC+Con(ZFC)，ZFC不能证明k的存在，不然就属于自证一致性)于是，我们有：第α个世界基数k1-世界基数k：k是第k个世界基数α-世界基数k：k是第k个α-1-世界基数超世界基数k：k是k-世界基数1-超世界基数k：k是第k个超世界基数的超超世界基数k：k是k-超世界基数…
异世界基数：一个基数 α 是异世界的，如果存在 β>α 使得 Vα≺Vβ，注意，一个异世界基数必定是一个对于ZFC+世界基数存在的完全正确基数完全异世界基数k：完全异世界基数是对任意大的序数都是异世界的基数。一个完全异世界基数必定是所有与其共享理论的异世界基数的极限集合论公式的阶数越高，可定义的集合也就越多，而k是不可达基数这意味着，无论使用多么高级的集合论公式，都不可能定义k的序型小于k的无界序列…
不可达基数（这个基数不与自然数集等势，>N0，其序数为a，设定β是序数，称β∪{β}为β的后继.可以证明，β是序数，则β的后继也是序数，记为β+1.而序数α，不可以找到序数β，使α为β的后继，即不存在∃β(α=β+1)。）强不可达基数（cfκ=K(正则基数)，满足κ>ℵ₀，如果ג<κ,那么P(ג)或者其他任何运算也<κ(强极限基数)κ就是一个强不可达基数,一般把强不可达基数叫做不可达基数,在GCH之下，每个弱不达基数也是强不可达基数，每个强不可达基数也都是弱不可达。不可达基数是第一个大基数,比它小的称为，小基数马洛基数（又称马赫罗基数对于所有K，正则基数 β 的初始段（即 β 以下的所有基数）中都包含一个K基数。这里的K在这个基数以上所有的正则无限基数的并集中，删去所有小于K的基数后，剩余的基数集合是一个K的闭集。也就是一个马洛基数κ之下的不可达基数组成驻集，小于κ的所有正则基数集合是κ的驻子集，则κ为马洛基数，说明白点就是任意不可达基数k，其他不可达基数在这个k前面形成无界闭集取驻集族为{a {0,1} 都存在一个κ个元素的子集使f在这个集上的值相同。）
弱紧致基数：对于一阶逻辑语言的扩张 Lλμ ，即对任意 α<λ ，允许语句的 α 次合取 ⋀ξ<αϕα 和或取 ⋁ξ<αϕα 仍作为一个语句；以及对任意 β<μ ，允许语句中出现 β 次存在量词 ∃ξ<βxξ 和全称量词 ∀ξ<βxξ ；若 Lκκ 的字母表仅含有 κ 个非逻辑符号，并且 Lκκ 的子集（语句集） T 存在模型（一致）当且仅当 T 的每个基数 <κ 的子集 Σ 都存在模型（一致），则称 κ 是弱紧致基数。
不可描述基数（基数K称为∏n不可描述基数如果对于每个∏m命题(φ，并且设置A⊆∨κ与(Vκ+n,∈，A)╞φ存在一个α<κ与(V α+n，∈,A ∩Vα)╞φ。这里看一下具有m-1个量词交替的公式，最外层的量词是通用的。∏n不可描述基数以类似的方式定义。这个想法是，即使具有额外的一元谓词符号（对于A）的优势，也无法通过具有m-1次量词交替的n+1 阶逻辑的任何公式将κ与较小的基数区分开来（从下面看）。这意味着它很大，因为这意味着必须有许多具有相似属性的较小基数。如果基数κ是∏nm，则称它是完全不可描述的——对于所有正整数m和n都难以描述。）
可展开基数：首先，一个基数 κ 是一个 θ - unfoldable 当且仅当对于每一个 A⊆κ ，存在一些满足A∈M⊨ZFC 的可递 M ，并且初等嵌入 j:M→N 在临界点 κ 时使得 j(κ)≥θ 。终于，一个基数 κ 是一个可展开基数（unfoldable cardinal）当且仅当它为 θ -unfoldable 且对于每一个 θ ：嵌入的目标可以为任意大。
强可展开基数：首先，一个基数 κ 是一个 θ - 强可展开 当且仅当对于每一个 A⊆κ ，存在一些满足 A∈M⊨ZFC 的可递 M ，并且初等嵌入 j:M→N 在临界点 κ 时使得 j(κ)≥θ以及 Vθ⊆N 。一个基数 κ 是一个 强可展开基数 且仅当它为 θ -强可展开 且对于每一个 θ ：嵌入的目标可以为任意大。下面这些大基数公理的存在让：强于0♯的存在性(j:L→L)，蕴含V≠L，属于“较大的大基数”非平凡初等嵌入的关键点令κ是非平凡初等嵌入j:V→M的关键点，也就是第一个被改变的序数。容易证明，j在Vκ上是等同映射，并且V中的Vκ+1与M中的Vκ+1，即Vκ+1M是相同的。又提到用初等嵌入j:V→M来刻画大基数性质时要求M越接近V就能得到越强的大基数性质。这是因为，M越接近V，我们就可以越自由地使用反射论证。我们说较大的大基数性质往往蕴含V≠L也是通过反射论证来证明的。还是以可测基数为例。假设κ是最小的可测基数，j:V→M是以κ为关键点的初等嵌入，那么M是一个 ZFC 的传递内模型。而哥德尔可构成集类L是最小的内模型，因此，V=L⊂M⊂V，那么，κ在M=V中见证了存在比j(κ)更小的可测基数反射回来，我们就得到了，在V中也存在比κ更小的可测基数这就与“κ是最小的”矛盾了
可迭代基数将基数κ定义为可迭代的，前提是κ的每个子集都包含在弱κ-模型M中，冯·诺依曼宇宙V：所有集合的“大全”，以集合的形式可以写为{x|x=x}V₀=∅V＿α+1=P(V＿α)若λ为极限序数，则V_λ=∪_k<λ V_k，V=∪_k∈Ord V_k，Ord即全体序数的类，于是k跑遍所有序数真实的宇宙V很大，大到包含一切集合，在此之外，当然不会再有集合。但在我们的理解中，所谓的那个宇宙只不过是真实的集合论宇宙的一个前段V，是一个对我们而言无比巨大的Vк，它使我们分辨不出Vк与V的差别于是我们所理解的宇宙V的强度本质上来自于其背景的大基数公理强度，因为这些大基数公理的存在，我们才能分辨在这个层面上的Vк与V的差别，继续窥视那个所谓的“集合论宇宙”，或许我们再次确定的那个“真正的V”，也只不过是V的又一个前段，因而我们终究无法找到那个真正的V所以要构造能一个能容纳所有大基数的终极内模型，以接近那个真实的宇宙V，我们当然无法直接断言V=M，即直接断言M就是囊括一切集合的终极大全，除非M真正囊括了一切大基数，但那又怎样呢……
内模型：内模型计划：简单地说，设V是真实的集合论宇宙，但由于哥德尔提出的集合论内模型L无法容纳较大的大基数的存在。在此之后的集合论学家们所做的就是：构造类似于L的内模型，同时能够容纳较大的大基数。Woodin 证明了：如果存在一个类似于 L 的模型M，它能容纳一个超紧致基数（supercompact），那就存在一个模型 U ： U 可以容纳已知的所有大基数； U 非常接近集合论宇宙 V 。Woodin 将这个模型 U 称为终极 L（Ultimate L）。Woodin证明了：如果存在一个内模型N是weak extender model for supercompact delta（delta的弱延展系统模型）的话，那么对所有已知的那些通过处等嵌入构造的大基数性质，如果V满足的话，那么N也满足。也就是说，如果我们定义了一个后各种类L的良好性质的Ultimate L，假设V中存在超紧基数delta并且证明了Ultimate L是delta的弱延展系统模型，那么如果V中又存在（例如）I0则Ultimate L中也有I0。再换句话说，如果你能证明Con(ZF+存在超紧致基数)→Con(ZF+V=Ultimate L+存在超紧基数)那么你也能证明（例如）Con(ZF+I0) →Con(ZF+V=Ultimate L+I0)。如果集合论宇宙真的就是这个终极 L，那么，连续统假设就为真。而且，所有通过力迫证明其为独立的那些命题都能够在大基数假设下获得一个确定的真值。这就意味着我们“终结了（力迫的）独立性时代”。这也是为什么称“超紧致基数可淘汰力迫法”。由于尚未获得容纳一个超紧致基数的内模型，所以终极 L 的设想还远未达到实现的程度。一个真类 M 称之为内模型当且仅当它是一个满足 On⊆M 的 ZF 的传递 ∈ - 模型。
可构造宇宙L：一类特殊的集合，其特性可以用更简单的集合来完全描述。它是可构造层次结构 Lα 的并集，其中Lα可以通过归纳法对α进行定义。在ZFC公理体系中，如果X是一个集合，那么X属于L，即所有集合都属于这个可构造宇宙定义Def()为一个包含所有X子集的集合。一个X的子集x位于Def(X)当且仅当存在一个一阶逻辑公式φ和u₀,u₁,u₂,……∈X使得x = {y∈X :φˣ[y,u₀,u₁,u₂,……]接受：L₀=∅L₁=Def(L1)={∅}=1Ln+1=Def(Ln)=nLω=∪＿k<ω LωLλ=∪＿k<λ λ is a limit ordinalλ是极限序数L=∪α∈Ord L＿α
特别地：若a≤w,L＿α=V＿α但L＿ω+α=ℵ₀+|α|，同时|V＿ω+α|=ℶ＿α，若α是一个ℶ不动点，那么|L＿ω+α|＜|V＿ω+α|，虽然L＿α比V＿α小，但Lₐ是一个tall模型，意味着L是一个包含所有序数。事实上：Vₐ∩Ord =Lₐ∩Ord =α，所以V中的序数就是L中的序数。0♯：一个满足 II - b. 的 ω 的子集称为 0♯ ；并且是唯一确定满足 I - a. 的无界闭类，除此之外，它还包含了 L 的特定生成方案。
存在的等价命题：I.一个子集0♯⊆ω满足形式： 0♯={⌜ϕ(x0,…,xn−1)⌝:L⊨ϕ(c0,…,cn−1)}II. 0♯ 是一个包含 Silver indiscernibles 的不可数集。III.0♯是一个包含所有使得 Lℵω⊨φ(ℵ0,ℵ1…ℵn) 且对于某些 n 的一阶逻辑公式 φ 的哥德尔数编码的集合。IV. 对于每一个 α∈ω1L ，每一个 Silver indiscernible 在 L 中都是 α - iterable，totallyineffable。V. L 中只有可数多的实数，在 V 中： |R∩L|=ℵ0VI. ℵ＿ω在 L 中是一个正则基数。VII.存在非平凡初等嵌入 j:L→L 以及包含此嵌入的真类。0♯在集合论中代表了哥德尔可构造宇宙中不可辨识或序不可辨识的真公式汇聚。它同时也描述了一种本体论结构上的不可辨识状态，或一种反本体的力量如0♯存在(或者蕴涵0♯的大基数)，那么V≠L若存在一个 L 至 L 的初等嵌入，那么可以存在一个叫做 0♯ 的集合。0♯存在当且仅当存在一个初等嵌入 j:L→L .同时 0♯ 可以看做是一个整数集合，也可以看做是一个实数。它的存在性独立于 ZFC . 从某种意义上来说可以作为一个大基数存在。接下来，若存在非平凡初等嵌入 j:L[0♯]→L[0♯] 那么可以得到一个更大的 0♯♯ .以及一个大基数序列： 0♯,0♯♯,0♯♯♯,⋯,0(♯♯♯⋅⋅⋅♯}n),⋯(}n表示有n个♯)若：0♯♯♯⋅⋅⋅♯}ω 为这一个序列的编码，那么可以进一步构造一个新的模型 L[0♯♯♯⋅⋅⋅♯}ω] 再一次进行初等嵌入得到 0♯♯♯⋅⋅⋅♯}ω+1 .以此类推，对于每一个序数 α 都可以定义一个 0♯♯♯⋅⋅⋅♯}α 进一步地定义一个 L♯=⋃α∈Ord L[0♯♯♯⋅⋅⋅♯}α] .再进一步地，得到一个非平凡初等嵌入 j:L♯→L♯ 那么得到 0(∞) .
以及一个大基数序列： ⋯,0(∞),0(∞+1),⋯,0(∞∞),⋯这个序列称之为：Mice。而全体 Mice 的闭包所构成的非平凡初等嵌入将会是 L[U] .最终，若存在一个 L[U] 至 L[U] 的初等嵌入，那么可以存在一个叫做 0† 的集合。0† 存在当且仅当存在一个非平凡初等嵌入 j:L[U]→L[U] .作为 0† 的模型内将会存在一个可测基数。
目前最强的定义集合为：0¶ : 其最小核心模型 M 满足 M|crit(F˙M)⊨There exists a strong cardinal 其中 F˙M 为 M 的 top extender。也就是说：作为0¶的模型内将会存在不止一个强基数（strong cardinal）。The Core Model （for Dodd-Jensen） KDJ≡K若 ⟨L[U],∈,U⟩ 是一个见证可测基数存在的内模型： κ - 模型。那么存在一个 generic 扩张不会被 covering：若 G 是一个对于 L[U] 上的 U 而言的 P - generic，那么 G 无法被 L[U] 内任何其势小于 κ 的集合所 covered。不过，仍然有可能“迭代”出可测基数：若 ⟨L[U],∈,U⟩ 是一个 κ - 模型那么 ⟨L[W],∈,W⟩ 将会作为满足 λ>κ 的 λ - 模型；同时作为模型 ⟨L[U],∈,U⟩ 的迭代满足 L[W]⊆L[U] 与 Vκ∩L[U]=Vκ∩L[W] 与 U∉L[W] . 因此若序列 ⟨L[Uα]|α∈Ord⟩ 会枚举见证可测基数的内模型那么从它们之中的任意一个作为起始其遍历所有序数的过程会收敛到一个 proper class ⋂αL[Uα] ：排除可测基数存在性的一个内模型，且对于任意 γ 有 Vγ∩⋂αL[Uα]=Vγ∩L[Uβ] 且对于足够大的 β 其性质稳定。那么假设存在见证可测基数存在性的内模型，那么 K 可以将其描述为如上的 residue class。作为集合论可构造宇宙 L 进一步扩展构成的 K ：携带 Mice 的类 L 模型。存在一个集合 Lα[U] 使得 ⟨Lα[U],∈,U⟩⊨U is a normal ultrafilter over κ 同时满足：a. 在 Lα+1[U]−Lα[U] 内存在一个 κ 的子集使得 U 其性质不为超滤的边缘处。b. ⟨Lα[U],∈,U⟩ 是可迭代的，因为所有迭代的超滤都是良基的。c. 精细结构条件会见证一个 κ 之下的 projectum 同时使得 a. 成立。可以得知 K⊨GCH .若 KDJ(≡K)=L 那么 0♯ 不存在。若 0♯ 存在而 0♯♯ 不存在当且仅当 K=L[0♯] … 以此类推得到一个 sharp 序列。特别地 K 更像是一个处于见证可测基数存在性边缘的最大内模型：存在一个初等嵌入 j:K→K ；等价Theorem.[Martin-Steel] 若 n∈ω 以及存在 n - 武丁基数 [ n - Woodin cardinals ] 那么就存在一个包含 n - 武丁基数的内模型，同时存在实数的 Δn+21 - 良序性。……
绝对无穷：绝对无穷Ω(理想中)：绝对无穷是数学家康托尔提出的一个超越超限数的无限概念。康托尔认为绝对无限具有各种数学性质，包括它所有的特性也能被一些更小的对象所持有。在对绝对无穷的理解上，我们可以从两个性质入手。首先，康托尔指出，理想中的绝对无穷可以看作宇宙V的基数在新基础集合论Nf中对绝对无穷的体现。其次，施加幂集反而会让它从绝对无穷中跌落。不可达基数及其之上的大基数其本质都是对绝对无穷的在“宽度”（表现力）上的可见证的逼近和模拟，因此绝对无穷自然的拥有大基数的全部性质。绝对无穷Ω如果存在，应该是：Dedekind的，不可数的，具有滤的形式，具有真类的势，是世界的，是弱不可达的，强不可达的，Mahlo的，不可描述的，不可言喻的，不可区分的，Ramsey的，是大基数，是反射论证的，可测的，超可测的，强大的，高大的，Woodin的，无限谓词的，亚紧致的，是超大基数，强紧致的，超紧致的，可扩的，Vopenka的，是巨基数，高度跳跳跃，阶对阶的，Icatus的……
关于绝对无限有两个性质：反射原理：Ω的所有性
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作为宽度完成主义者，我们不能直接谈论外模型，甚至不能谈论不属于V的集合。然而，使用V-逻辑，我们可以间接地谈论它们。考虑V-逻辑中的理论，我们不仅有表示V的元素的常元符号 aread-normal-img¯ 和表示V本身的常元符号 V¯ ，而且还有一个常元符号 W¯ 来表示V的 "外模型我们增加以下新公理。1. 宇宙V是ZFC（或至少是KP，可接受性理论）的一个模型。2. W¯ 是ZFC的一个传递模型，包含 V¯ 作为子集，并且与V有相同的序数。因此，现在当我们采取一个遵守V-逻辑规则的公理模型时，我们会得到一个模拟ZFC（或至少是KP）的宇宙，其中 V¯ 被正确地解释为V， W¯ 被解释为V的外模型。请注意，V-逻辑中的这一理论是在没有“加厚”V的情况下提出的，实际上它是在 V+=Lα(V) 内定义的。由于我们采用了高度（而不是宽度）潜在主义，后者又是有意义的。最终我们成功避免了直接谈论V的“增厚”（即“外模型”），而是谈论用V-逻辑制定的理论的一致性，并在 V+ 中定义使得满足宽度潜在主义。在可数模型上，宽度完成主义和激进潜在主义是等效的。通过V-逻辑，我们可以得到V+(V-逻辑+ZFC的模型)也就是逻辑多元V-逻辑足够广泛，可以包含各种外部。与超宇宙的概念相反，V-逻辑不能化简为可数传递模型的集合，因为V不需要被认为是可数的。但V-逻辑仅仅是V+(V-逻辑+ZFC的模型)，而V*（任一一致的逻辑+ZFC的模型）也会是存在的……Ω-逻辑：Ω-逻辑具有Ω-完备的力量，引入Ω-猜想我们便可获得Ω-可判定 见证一切Ω-真命题是Ω-可证的Ω-逻辑是用于谈论脱殊绝对性的无限逻辑它的语义域是整个脱殊复宇宙，语法域是通用波莱尔集通用波莱尔集的具体定义很复杂，简单来说就是ω^＜ωₓ^λ＜ω的某些子集，其中λ是某些序数，可以任意高所以Ω-逻辑的证明编码的基数可以是任意大的不可数基数如果Ω-猜想成立，Ω逻辑使可以见证任意大的模型中包含的任意大基数，并将各种大基数公理以Wadge证明秩的深度分“强弱，重新衡量大基数的强度武丁在Ω-猜想的视角下重新定义了“大基数”，他定义：一个性质是大基数性质，是在说：1.P(a)断言了序数a是强不可达基数2. P是Σ2的3. P是不能被“小力迫”改变的……
既然独立于ZFC的命题在一些模型里成立，在另一些模型里不成立，我们可以挑选一些自然的有意义的模型作为我们的检测模型(test structures ),研究在检测模型里成立的命题。这在本质上是定义一种强逻辑，在所有检测模型里成立的命题就是强逻辑下有效的命题。逻辑就是一种强逻辑，用它可以更好地刻画脱殊绝对性。逻辑令T是语言𝓛＿set中的语句集，为语句，我们定义σ是T的Ω逻辑后承，符号表示为T⊨＿Ωσ,如下：对任意完全布尔代数𝔹,任意序数α,如果Vαᴮ=T,则Vαᴮ⊨T.特别地，如果T是空集，则σ称是Ω有效的，记作⊨＿Ωσ⊨＿Ωσ这一概念的一个十分重要的性质是：假设存在武丁基数的一个真类，则关系⊨＿Ω对任意脱殊扩张是绝对的，即对任意可数语句集T,任意语句σ，以及任意𝔹：T⊨＿Ωσ当且仅当Vᴮ⊨“T⊨＿Ωσ”我们可以用以下概念重新塑述脱殊绝对性：Ω完全的：令T是理论而S是一语句集，则称T相对于S是Ω完全的当且仅当对任意σ∈S,T⊨＿Ωσ或T⊨＿Ω¬σ所以，事实ω₁二就是说：假设存在武丁基数的真类，则ZFC相对于S={“H(ω₁)⊨σ”是语句}是Ω完全的。但不幸的是，任何已知的大基数公理都不能生成对于H(ω₂)的完全理论，因此也不能证明H(2ω₂)的脱殊绝对性。这正是关键的问题。要定义Ω逻辑的证明概念⊢Ω需要很多技术的细节，我们在此省略。事实上，一个证明是实数的一个子集，而重要是如果假设存在武丁基数的真类，也是脱殊不变的。而且可靠性假设ZFC,令T是可数理论，是语句φ，则T⊢＿Ωφ蕴涵T⊨＿Ωφ.武丁还猜想在大基数假设下，Ω逻辑是完全的：Ω-猜想：假设ZFC并且存在武丁基数的真类，则对任意语句φ，蕴涵⊨＿Ω φ这被证明是一个强有力的命题，因为我们可以证明：定理假设存在武丁基数的真类，并且假设猜想成立，则1.存在一个公理A,ZFC+A是Ω可满足的，即，它的否定不是有效的；并且ZFC+A对于H(ω₂)是Ω完全的2.任何这样的公理A满足：ZFC+A⊨“H(ω₂)⊨ ¬CH”这就是说，如果存在武丁基数的真类并且Ω猜想成立，则存在一个H(ω₂)的Ω完全理论，并且所有这样的理论都包含连续统假设的否定。最近的结果表明这样的A不是唯一的。不过武丁确实找到了一条这样的公理的实例。Ω猜想如果不成立，那一定是因为某个大基数公理，而且这个大基数公理超出了现有内模型计划。所谓“内模型计划”指的是构造一个类似于L的模型，在其中某个大基数公理成立。
模型Ω-逻辑：https://share.weiyun.com/DcaViSlZ
一种Ω-逻辑引物：https://share.weiyun.com/1jrJrr7P
柏拉图主义与集合论终极宇宙.pdf :https://m.book118.com/html/2019/0109/7014120143002000.shtm
连续统问题与Ω猜想.pdf ：https://m.book118.com/html/2019/0109/6032154212002000.shtm
格罗滕迪克宇宙：格罗滕迪克宇宙公理等强于无界闭的不可达基数，允许在任意高阶的序数型上构造不可达基数ZFC宇宙v的子类u是格罗登迪克宇宙:1 .如果x∈u，y∈x，则y∈u (关于∈的推移性)2 .如果x，y∈U，则{x，y}∈U (关于配对的结构是闭合的)3 .如果x∈U，则Pow(x )∈u (关于幂集合是闭的)4.I∈U，f:I→U，则∪(f )∈U (关于族的合并是封闭的)5.U∈V (V的元素)6.ω∈U (具有无穷集)∪(f )是⋃i∈If(i )的缩写。ω是整个自然数的集合。如果去掉第五个条件U∈V，v本身就是格罗滕迪克宇宙。但是，格罗滕迪克宇宙“不过大”是个迷，所以小〈smallness〉的条件有U∈V。low〈Zhen Lin low〉把去掉最后ω∈U的东西称为预宇宙〈pre-universe〉。空类(空集合)成为预宇宙(虽然是虚的例子)。也可以制作只包含有限集合的预宇宙。也可是，更多出现与代数几何，范畴有关的领域里。不过也仅仅是等价于强不可达性大基数的存在（即一个无限基数 κ 会使得 Vκ⊨ZFC. 它可以断言 Con(ZFC)Grothendieck宇宙其实就是在 ZF 运算下封闭的一个类，其实质就是 Vκ ，其中 κ 是一个强不可达基数。
Tarski-Gronthendieck公理：对任意集合x，都存在一个宇宙U，使得x∈U。即每个集合属于某一个强不可达基数前段Vк 。由简单的绝对性论证可知，对一个强不可达基数Κ₀ ，在一个比Κ₀更高的强不可达基数前段Vк₁中仍然被Vк₁认为是强不可达基数。对任意一个宇宙U，定义U-small集合就是U中元素，U-large集合就是U的子集（相对于U的类），但是U-large集合在某个比U更大的宇宙里又是“小集合”了。类似的可以定义U-small范畴和U-large范畴。这样在使用范畴论的时候，我们总可以在一个足够大的Grothendieck宇宙中工作，从而避免在ZFC中无法直接操作大范畴的困难。这个公理等价于“对于每个序数都有比这个序数大的强不可达基数”或者“存在无界多的强不可达基数”Grothendieck宇宙中不一定有不可达基数，而是说Grothendieck宇宙本身的高度和宽度是不可达基数。比如说如果k是最小的不可达基数，那么Vk是Grothendieck宇宙，并且其中没有任何不可达基数Grothendieck宇宙的封闭性质使得它强于单纯的传递模型，例如说对幂集封闭导致了它必然是不可数的，而传递模型可以是可数的
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非常可笑的是，兜兜转转，我们又回到了前文大基数领域，而且与上面那些所谓的“宇宙”具然存在着不可思议的跨度……宇宙V的确包含了一切大基数——是一切集合的大权，而大基数也是集合，所以如果大基数存在，那必然∈V，但大基数公理的存在本身，却并非是V所能见证的(ZFC的一致性推断不出任何大基数公理的一致，但大基数公理可以推断出ZFC的一致，而宇宙V只不过是在ZFC下的集合论宇宙罢了)，如果我们直接宣称大基数公理在V中不存在(你的确是包含一切，但大基数在一切之外)，那么，宇宙V就会变成一个贫弱的空壳宇宙(包括所谓的包含所有大基数的终极L，你确实包容一切大基数，但大基数并不存在)，按照这个推断，上面那些所谓“宇宙”的相对一致性强度(剔除其中地基宇宙V其中内置的大基数，便可以发现它们甚至能被足够强的世界基数封闭，而最小的不可达基数则又是世界基数不配想象的……)，而格罗滕克宇宙本身就代表着强不可达基数的存在但不可达基数在整个大基数层谱上，仅仅只是最原始的那一类，更强的大基数所构成的宇宙，则又远远强于这里格罗滕克宇宙……
终极数学宇宙V：必然包含了一切大基数的真正的“V”也会是存在的，但其必然是不可指称的，不过我们也依然可以将其作为集宇宙的基本结构，构建出对等的Ω、真正的复宇宙、真正的……乃至于远超这一切，而将上述一切都完全封闭更高等的“宇宙”，也不过是“数学总体”所能涉及到的一小部分，人类所能建立的理论，本质只是一堆陈述的集合，只是元数学中极其微小的一个自然数子集，而哥德尔不完备定理也亦然其上继续显现，在更大的元理论与元视角中，还会有更多的部分也能被继续的被构造出来，总还会有更大的元数学去包容这一切……而这真正包含了这一切(？)数学理论及实体的终极大全便是我们的“终极数学宇宙V”
逻辑多元V-逻辑(V-logic)V-逻辑具有以下的常元符号： a¯ 表示V的每一个集合a V¯ 表示宇宙全体集合容器V 在一阶逻辑的推理规则上添加以下规则：图里面的 作为宽度完成主义者，我们不能直接谈论外模型，甚至不能谈论不属于V的集合。 然而，使用V-逻辑，我们可以间接地谈论它们。考虑V-逻辑中的理论，我们不仅有表示V的元素的常元符号 a¯ 和表示V本身的常元符号 V¯ ，而且还有一个常元符号 W¯ 来表示V的 "外模型我们增加以下新公理。 1. 宇宙V是ZFC（或至少是KP，可接受性理论）的一个模型。 2. W¯ 是ZFC的一个传递模型，包含 V¯ 作为子集，并且与V有相同的序数。 因此，现在当我们采取一个遵守V-逻辑规则的公理模型时，我们会得到一个模拟ZFC（或至少是KP）的宇宙，其中 V¯ 被正确地解释为V， W¯ 被解释为V的外模型。 请注意，V-逻辑中的这一理论是在没有“加厚”V的情况下提出的，实际上它是在 V+=Lα(V) 内定义的。 由于我们采用了高度（而不是宽度）潜在主义，后者又是有意义的。 最终我们可以用V-逻辑将IMH转写为以下形式：假设P是一个一阶句子，上述理论连同公理“ W¯ 满足P”在V-逻辑中是一致的。 那么P在V的一个内模型中成立。 最终我们成功避免了直接谈论V的“增厚”（即“外模型”），而是谈论用V-逻辑制定的理论的一致性，并在 V+ 中定义使得满足宽度潜在主义。在可数模型上，宽度完成主义和激进潜在主义是等效的。 通过V-逻辑，我们可以得到V+(V-逻辑+ZFC的模型)也就是逻辑多元V-逻辑足够广泛，可以包含各种外部。 与超宇宙的概念相反，V-逻辑不能化简为可数传递模型的集合，因为V不需要被认为是可数的。 以后我们或许得到V*（任一一致的逻辑+ZFC的模型）这种东西……
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正如最初所言，